Representar la función 18

Representar la función:

f(x)=\dfrac{16}{x^2(x-4)}

La derivada primera será:

f'(x)=-\frac{16(3x-8)}{x^3(x-4)^2}

La derivada segunda será:

f''(x)=\frac{64(3x^2-16x+24)}{x^4(x-4)^3}

1. Dominio:

Domf(x)=\mathbb{R}-\{0,4\}

2. Cortes con los ejes:

No tiene

3. Simetrías:

No tiene simetría Par ni Impar

4. Asíntotas:

A.H.:

y=0

A.V.:

x=0

x=4

A.O.:

No tiene porque tiene una asíntota horizontal.

5. Monotonía. Máximos y Mínimos

-\frac{16(3x-8)}{x^3(x-4)^2}=0,

de modo que 16(3x-8)=0, y por tanto, x=\frac{8}{3}.

La función tiene un máximo en M(\frac{8}{3},-\frac{27}{16})

Decreciente en : (-\infty, 0)\cup(\frac{8}{3},4)\cup(4,+\infty)

Creciente en : (0,\frac{8}{3})

6. Curvatura y Puntos de Inflexión:

f''(x)=\frac{64(3x^2-16x+24)}{x^4(x-4)^3}=0

de modo que 3x^2-16x+24=0, y por tanto, resolviendo:

x=\frac{16\pm\sqrt{(-16)^2-4.3.24}}{6}

vemos que no tiene soluciones reales. Por lo tanto, no tendrá puntos de inflexión la función

Cóncava:

\left(-\infty,0\right)\cup\left(0,4\right)

Convexa:

\left(4,+\infty\right)

7. Regionamiento y gráfica:

Pincha para ver el dibujo

 

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