Representar una función

Representar la función:

f(x)=\dfrac{x^2-1}{x^2+1}

La derivada primera será:

f'(x)=\frac{4x}{(x^2+1)^2}

La derivada segunda será:

f''(x)=-\frac{4(3x^2-1)}{(x^2+1)^3}

1. Dominio:

Todos los números reales.

2. Cortes con los ejes:

(0,-1), (-1,0) y (1,0)

3. Simetrías:

Es una función par.

4. Asíntotas:

A.H.:

y=1

A.V.:

No tiene

A.O.:

No tiene porque tiene una asíntota horizontal.

5. Monotonía. Máximos y Mínimos

f'(x)=\frac{4x}{(x^2+1)^2}=0,

de modo que 4x=0, y por tanto, x=0.

La función tiene un mínimo en M(0,-1)

Decreciente en : (-\infty, 0)

Creciente en : (0,+\infty)

6. Curvatura y Puntos de Inflexión:

f''(x)=-\frac{4(3x^2-1)}{(x^2+1)^3}=0

de modo que 4(3x^2-1)=0, y por tanto, resolviendo:

x=\pm\frac{\sqrt{3}}{3}

Los puntos de inflexión van a ser:

P\left(-\frac{\sqrt{3}}{3},-\frac{1}{2}\right)

y

Q\left(\frac{\sqrt{3}}{3},-\frac{1}{2}\right) .

Cóncava:

\left(-\infty,-\frac{\sqrt{3}}{3}\right)\cup\left(\frac{\sqrt{3}}{3},+\infty\right)

Convexa:

\left(-\frac{\sqrt{3}}{3},\frac{\sqrt{3}}{3}\right)

7. Regionamiento y gráfica:

Pincha para ver el dibujo

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