Estudio y representación de una función

Consideremos la función f(x)= \dfrac{x^2-6x+5}{x-3}

Dominio. Para estudiar el dominio lo primero que debemos hacer es igualar a 0 el denominador, x-3=0, de modo que x=3. Tenemos, por tanto que Domf(x)=\mathbb{R}-\{3\}

  1. Cortes con los ejes:
    1. Eje OX. Hacemos y=0 de modo que 0=\frac{x^2-6x+5}{x-3}, de lo que se deduce que 0=x^2-6x+5, y x=\frac{6\pm\sqrt{36-20}}{2}=\frac{6\pm\sqrt{16}}{2}=\frac{6\pm 4}{2}. Por tanto, x_1=1,x_2=5. Los puntos buscados son: (1,0) y (5,0)
    2. Eje OY. Hacemos x=0, de modo que f(0)=\frac{0^2-6\cdot0+5}{0-3}, y el punto buscado es \left(0,-\frac{5}{3}\right)
  2. Simetría. No tiene simetría par ni impar, ya que f(-x)=\frac{x^2+6x+5}{-x-3} y -f(-x)=\frac{x^2+6x+5}{x+3}, funciones que son distintas de f(x)
  3. Asíntotas.
    1. Asíntotas horizontales: No tiene, ya que \lim\limits_{x \to +\infty}\frac{x^2-6x+5}{x-3}=+\infty y por otra parte, \lim\limits_{x \to -\infty}\frac{x^2-6x+5}{x-3}=-\infty, de modo, que no es un número real el límite.
    2. Asíntotas verticales:
      Tiene una asíntota en x=3 ya que \lim\limits_{x \to 3^+}\frac{x^2-6x+5}{x-3}=-\infty y \lim\limits_{x \to 3^-}\frac{x^2-6x+5}{x-3}=+\infty
    3. Asíntotas oblícuas: Si dividimos (x^2-6x+5):(x-3), por Ruffini, por ejemplo, es posible en este caso concreto, obtenemos que el cociente es x-3, de modo que entonces la asíntota oblicua será la recta y=x-3
  4. Monotonía. Máximos y Mínimos. Calculamos de derivada primera de f(x), f'(x)=\frac{x^2-6x+13}{(x-3)^2}. La igualamos ahora a 0, \frac{x^2-6x+13}{(x-3)^2}=0, y resolvemos la ecuación resultante: x^2-6x+13=0, x=\frac{6\pm\sqrt{36-52}}{2}. No tiene soluciones reales, y por tanto, no posee máximos ni mínimos. La función es creciente en (-\infty,3)\cup(3,+\infty)
  5. Curvatura y Puntos de Inflexión. Calculamos de derivada segunda de f(x), f''(x)=\frac{-8}{(x-3)^3}. La igualamos ahora a 0, \frac{-8}{(x-3)^3}=0, y resolvemos la ecuación resultante. Como -8\neq 0, la ecuación no tiene solución, y por tanto, no existen puntos de inflexión. La función va a ser convexa en (-\infty,3) y cóncava en (3,+\infty)
  6. Regionamiento y Gráfica. Pincha aquí para ver el dibujo
Anuncios

8 pensamientos en “Estudio y representación de una función

Responder

Introduce tus datos o haz clic en un icono para iniciar sesión:

Logo de WordPress.com

Estás comentando usando tu cuenta de WordPress.com. Cerrar sesión / Cambiar )

Imagen de Twitter

Estás comentando usando tu cuenta de Twitter. Cerrar sesión / Cambiar )

Foto de Facebook

Estás comentando usando tu cuenta de Facebook. Cerrar sesión / Cambiar )

Google+ photo

Estás comentando usando tu cuenta de Google+. Cerrar sesión / Cambiar )

Conectando a %s